Số học mô-đun là một cấu trúc số học cho số nguyên, trong đó các số "quấn quanh" khi đạt đến một giá trị cụ thể. Số học mô-đun cho phép chúng tôi đơn giản tạo các nhóm, vòng và trường là thành phần cấu tạo cơ bản của hầu hết các hệ thống mật mã khóa công khai hiện đại.
Ví dụ, Diffie-Hellman cần nhóm nhân số nguyên theo môđun thành một pp nguyên tố. Có các nhóm khác nhau có thể hoạt động. Số học mô-đun hoặc đồng hồ là số học trên một vòng tròn chứ không phải là một đường số theo mô-đun N, nó chỉ có thể sử dụng toàn bộ mười hai số từ 0 đến N-1.
Số học mô-đun được hiểu rất rõ trong phương pháp giải thuật cho một số phép toán cơ bản. Đó là một trong những lý do tại sao nó có thể sử dụng trường hữu hạn (AES) trong mật mã khóa đối xứng. Mật mã học cần những vấn đề phức tạp. Một số vấn đề phát triển thành khó với số học mô-đun.
Ví dụ:logarit chỉ đơn giản là để tính toán trên tất cả các số nguyên nhưng có thể trở nên khó tính khi nó có thể tạo ra một giảm mô-đun. Tương tự như vậy với việc khám phá ra rễ. Mod-arithmetic là thuật ngữ toán học trung tâm trong mật mã.
Phần lớn lý thuyết số hiện đại và một số vấn đề thực tế liên quan đến số học mô-đun. Trong modulo số học N, nó liên quan đến số học trên các số nguyên, nơi nó có thể nhận ra tất cả các số khác nhau bởi một bội số của N. Nghĩa là,
x =y mod N nếu x =y + mN với một số nguyên m.
Sự thừa nhận này chia tất cả các số nguyên thành N lớp giống nhau. Nói chung, nó có thể chỉ ra những điều này bởi các thành viên đơn giản nhất của chúng là số 0, 1,… .N-1.
Nếu a là số nguyên và n là số nguyên dương, biểu diễn mod n là phần dư khi a chia cho n. Sau đó $ \ mathrm {a \, =\, \ left \ lfloor a / n \ right \ rfloor \, x \, n \, + \, \ left (a \, mod \, n \ right);} $
Ví dụ - 11 mod 7 =4
Định lý - n là quan hệ tương đương trên các số nguyên. Một lớp tương đương bao gồm những số nguyên có phần dư bằng nhau khi chia cho n. Các lớp tương đương còn được gọi là lớp đồng dư modulo n. Thay vì nói rằng các số nguyên a và b là tương đương và có thể nói rằng chúng là modulo đồng dư.
Tập hợp tất cả các số nguyên đồng dư với một modulo n được gọi là lớp dư [a].
Toán tử modulo có các thuộc tính sau -
-
a ≡ b mod n nếu n | (a - b).
-
(a mod n) =(b mod n) ngụ ý a ≡ b mod n.
-
a ≡ b mod n ngụ ý b ≡ a mod n.
-
a ≡ b mod n và b ≡ c mod n ngụ ý a ≡ c mod n.
Các thuộc tính của phép toán số học mô-đun
-
[(a mod n) + (b mod n)] mod n =(a + b) mod n
-
[(a mod n) - (b mod n)] mod n =(a - b) mod n
-
[(a mod n) x (b mod n)] mod n =(a x b) mod n
Gọi Zn ={0, 1, 2,… (n-1)}, là tập môđun dư lượng n.
| Thuộc tính | Biểu thức |
|---|---|
| Luật giao hoán | (w + x) mod n =(x + w) mod n |
| Luật liên kết | (w x x) mod n =(x x w) mod n |
| | [(w + x) + y] mod n =[w + (x + y)] mod n |
| Luật phân phối | [(w x x) x y] mod n =[w x (x x y)] mod n |
| Danh tính | [(w x (x + y)] mod n =[(w x x) + (w x y)] mod n |
| | (0 + w) mod n =w mod n |
| Nghịch đảo cộng (-w) | (1 x w) mod n =w mod n |
| | Với mỗi w ∈ Zn, tồn tại một z như vậy w + z ≡ 0 mod n |