Nhóm, vành và trường là những yếu tố quan trọng của một nhánh toán học được gọi là đại số trừu tượng, hay đại số hiện đại. Trong đại số trừu tượng, nó liên quan đến các tập hợp mà phần tử của nó và nó có thể hoạt động theo phương pháp đại số; nghĩa là, nó có thể kết hợp hai phần tử của tập hợp, có lẽ theo nhiều cách, và nó có thể lấy được phần tử thứ ba của tập hợp.
Nhóm
Một nhóm (G) được biểu thị bằng {G, ∙}. Nó là một nhóm các phần tử có phép toán nhị phân ′ ∙ ′ thỏa mãn bốn thuộc tính. Các thuộc tính của Group như sau -
-
Đóng cửa - Nếu a và b là các phần tử của G thì c =a ∙ b cũng là một phần tử của tập G. Điều này có thể xác định rằng kết quả của việc sử dụng các phép toán trên hai phần tử bất kỳ trong tập hợp là một phần tử khác trong tập hợp.
-
Tính liên tưởng - Nếu a, b và c là phần tử của G, do đó (a ∙ b) ∙ c =a ∙ (b ∙ c), nghĩa là nó không có thứ tự nào nó có thể sử dụng các phép toán trên hai phần tử cao hơn.
-
Danh tính - Với mọi a trong G, có một phần tử e trong G gồm e ∙ a =a ∙ e =a.
-
Nghịch đảo - Với mỗi a trong G, có một phần tử a ’được gọi là nghịch đảo của a sao cho a ∙ a ′ =a ′ ∙ a =e.
Một nhóm là một nhóm abel nếu nó thỏa mãn bốn tính chất sau, thêm một tính chất bổ sung của tính chất giao hoán.
Tính giao hoán - Với mọi a và b trong G, ta có a ∙ b =b ∙ a.
Đổ chuông - Một vành R được biểu thị bằng {R, +, x}. Nó là một tập hợp các phần tử có hai phép toán nhị phân, được gọi là phép cộng và phép nhân, bao gồm cả a, b, c trong R, các tiên đề sau được giữ nguyên -
-
R là một nhóm abel liên quan đến phép cộng R thỏa mãn các thuộc tính A1 qua A5. Trong phương thức nhóm cộng, nó chỉ ra phần tử nhận dạng là 0 và nghịch đảo của a as - a.
-
(M1):Đóng dưới phép nhân - Nếu và b thuộc R thì ab cũng thuộc R.
-
(M2):Tính liên kết của phép nhân - a (bc) =(ab) c với mọi a, b, c trong R.
-
(M3):Luật phân tán -
a (b + c) =ab + ac với mọi a, b, c trong R
(a + b) c =ac + bc với mọi a, b, c trong R
-
(M4):Giao hoán của phép nhân - ab =ba với mọi a, b trong R.
-
(M5):Nhận dạng đa số - Có một phần tử 1 trong R bao gồm a1 =1a với mọi a trong R.
-
(M6):Không có ước số 0 - Nếu a, b thuộc R và ab =0 thì a =0 hoặc b =0.
Trường - Trường F được biểu thị bằng {F, +, x}. Nó là một tập hợp các phần tử có hai phép toán nhị phân được gọi là phép cộng và phép nhân, bao gồm cả a, b, c trong F, các tiên đề sau được giữ nguyên -
-
F1 là miền số nguyên F thỏa mãn các tiên đề A1 đến A5 và M1 đến M6.
-
(M7):Phép nhân nghịch đảo - Với mỗi a trong F, ngoại trừ 0, có một phần tử a −1 trong F sao cho aa −1 =(a −1 ) a =1.