Nhóm, vòng, trường là yếu tố quan trọng của nhánh toán học gọi là đại số trừu tượng, hoặc đại số hiện đại. Trong đại số trừu tượng, liên quan đến tập hợp trên các phần tử mà có thể vận hành đại số; tức là kết hợp hai phần tử của tập, có thể theo nhiều cách, và nhận phần tử thứ ba của tập.
Nhóm (Group)
Một nhóm (G) ký hiệu {G,∙}. Là tập hợp phần tử với phép toán nhị phân '∙' thỏa mãn 4 tính chất:
Đóng (Closure) - Nếu a, b ∈ G thì c = a ∙ b ∈ G. Kết quả phép toán trên 2 phần tử bất kỳ trong tập là phần tử khác trong tập.
Kết hợp (Associativity) - Nếu a,b,c ∈ G thì (a ∙ b) ∙ c = a ∙ (b ∙ c), thứ tự phép toán trên >2 phần tử không quan trọng.
Phần tử trung hòa (Identity) - Với mọi a ∈ G, tồn tại e ∈ G sao cho e ∙ a = a ∙ e = a.
Phần tử nghịch đảo (Inverse) - Với mỗi a ∈ G, tồn tại a' gọi là nghịch đảo của a sao cho a ∙ a' = a' ∙ a = e.
Nhóm là nhóm Abel (abelian group) nếu thỏa 4 tính chất trên thêm tính giao hoán.
Giao hoán (Commutativity) - Với mọi a,b ∈ G, a ∙ b = b ∙ a.
Vòng (Ring)
Một vòng R ký hiệu {R, +, x}. Là tập hợp phần tử với 2 phép toán nhị phân: cộng và nhân, với mọi a,b,c ∈ R các tiên đề sau đúng:
R là nhóm Abel về cộng (thỏa A1-A5). Trong nhóm cộng, ký hiệu phần tử trung hòa 0 và nghịch đảo a là -a.
(M1): Đóng dưới nhân - a,b ∈ R thì ab ∈ R.
(M2): Kết hợp nhân - a(bc) = (ab)c ∀ a,b,c ∈ R.
(M3): Luật phân phối - a(b+c) = ab+ac và (a+b)c = ac+bc ∀ a,b,c ∈ R.
(M4): Giao hoán nhân - ab = ba ∀ a,b ∈ R.
(M5): Trung hòa nhân - Tồn tại 1 ∈ R: a1 = 1a = a ∀ a ∈ R.
(M6): Không ước số 0 - a,b ∈ R, ab = 0 thì a = 0 hoặc b = 0.
Trường (Field)
Một trường F ký hiệu {F, +, x}. Là tập hợp phần tử với 2 phép toán nhị phân cộng và nhân, với mọi a,b,c ∈ F các tiên đề sau đúng:
F là miền nguyên (integral domain) thỏa A1-A5 và M1-M6.
(M7): Nghịch đảo nhân - Với mỗi a ∈ F, a ≠ 0, tồn tại a-1 ∈ F sao cho aa-1 = (a-1)a = 1.