Cho G là một tập tuần hoàn hữu hạn có n phần tử. Nó coi rằng nhóm được viết bằng văn bản. Gọi b là một sinh của G và do đó mỗi phần tử g của G có thể được viết dưới dạng g =b k cho một số nguyên k.
Hơn nữa, hai số nguyên bất kỳ xác định g sẽ là modulo n đồng dư. Nó có thể trình bày một nhật ký chức năng b :G → Z n (trong đó Z n chỉ ra vành các số nguyên modulo n) bằng cách tạo ra g lớp đồng dư của k modulo n. Hàm này là một đẳng cấu nhóm được gọi là thuật toán rời rạc với cơ sở b.
Trong toán học, đặc biệt là trong đại số trừu tượng và các ứng dụng của nó, các nhịp lệch danh sách được thiết lập tương tự về mặt lý thuyết của các thuật toán thông thường. Cụ thể, một nhật ký thuật toán thông thường a (b) là một nghiệm của phương trình a x =b trên số thực hoặc số phức.
Bằng nhau nếu g và h là các phần tử của một nhóm tuần hoàn hữu hạn G thì một nghiệm x của hệ quả g x =h được gọi là logarit rời rạc đến cơ số g của h trong nhóm G.
Các bản ghi rời rạc có một lịch sử lớn trong lý thuyết số. Ban đầu, chúng được sử dụng cơ bản trong các phép tính trong một khu vực hữu hạn. Tuy nhiên, chúng khá mơ hồ giống như Bài toán thừa số nguyên (IFP).
Công cụ quan trọng nhất cần thiết cho việc triển khai hệ thống mật mã khóa công khai là Bài toán nhật ký riêng biệt (DLP). Có một số bảo mật cơ bản của thuật toán tiền điện tử hiện đại phổ biến trên DLP. Nó dựa trên sự phức tạp của vấn đề này. Diffie-Hellman đề xuất kế hoạch thỏa thuận khóa Diffie-Hellman nổi tiếng vào năm 1976.
Ví dụ
-
Logarit rời rạc dễ học nhất trong nhóm (Z p ). Đây là nhóm các lớp dư (1,…., P - 1) theo mô đun nhân, số nguyên tố p.
-
Nếu bắt buộc phải tìm lũy thừa thứ k của một trong các số trong nhóm này, nó có thể làm như vậy bằng cách khám phá lũy thừa thứ k của nó dưới dạng số nguyên và sau đó tìm ra lũy thừa sau khi chia cho p.
-
Quá trình này được gọi là lũy thừa rời rạc.
-
Ví dụ:hãy xem xét (Z 17 ) x . Nó có thể tính 3 4 trong nhóm này, trước tiên nó có thể tính toán 3 4 =81, và do đó nó có thể chia 81 cho 17 thu được phần còn lại là 13.
-
Do đó, 3 4 =13 trong nhóm (Z 17 ) x . Lôgarit rời rạc chỉ là phép toán nghịch đảo. Ví dụ, nó có thể sử dụng phương trình 3 k =13 (mod 17) cho k.
-
Trong k =4 này là một nghiệm. Kể từ 3 16 ≡ 1 (mod 17), nó cũng tuân theo rằng nếu n là số nguyên thì 3 4 + 16n ≡ 13 x 1 n ≡ 13 (bản 17).
-
Do đó, phương trình có vô số nghiệm dạng 4 + 16n. Hơn nữa, vì 16 là số nguyên dương m nhỏ nhất thỏa mãn 3 m ≡ 1 (mod 17), i. e. , 16 là thứ tự của 3 in (Z 17 ) x , có những giải pháp duy nhất. Tương tự, giải pháp có thể được định nghĩa là k ≡ 4 (mod) 16.
-
Không có thuật toán hiệu quả nào để tính toán nhật ký logarit rời rạc chung b g đã biết.