Xác suất có điều kiện ký hiệu bằng P(A|B) là xác suất xảy ra sự kiện 'A' cho trước rằng sự kiện 'B' đã xảy ra.
Công thức cho xác suất có điều kiện
P(A|B) = P( A⋂B ) / P(B)
Định lý Bayes
Đây là công thức cho thấy mối quan hệ giữa xác suất xảy ra của các sự kiện phụ thuộc lẫn nhau, tức là nó cho mối quan hệ giữa các xác suất có điều kiện của chúng.
Cho một sự kiện A và một sự kiện B khác, theo định lý Bayes,
P(A/B) = {P(B/A) * P(A)} / P(B)
Hãy suy ra công thức cho định lý Bayes,
Để làm điều này, chúng ta sẽ sử dụng công thức cho xác suất có điều kiện,
P(A|B) = P( A?B ) / P(B) —— 1 P(B|A) = P( B?A ) / P(A) —— 2
Chúng ta biết rằng A⋂B và B⋂A là như nhau, do đó chúng ta có thể thay thế giá trị của B⋂A bằng A⋂B trong phương trình 2.
P(B/A) = P(A⋂B) / P(A) P(B/A) * P(A) = P(A⋂B) —- 3
Bây giờ, sử dụng giá trị này cho A?B trong phương trình 1, chúng ta sẽ nhận được công thức định lý Bayes.
P(A/B) = {P(B/A) * P(A)} / P(B)Một số suy ra cho Định lý Bayes,
Quy tắc tích
được mô tả trong phương trình 3, nó nói rằng xác suất cả hai sự kiện xảy ra trong cùng một thử nghiệm bằng tích của xác suất có điều kiện của sự kiện và xác suất xảy ra của sự kiện bằng chứng.
P(A?B) = P(A/B) * P(B)
Từ quy tắc này, chúng ta có thể suy ra hai công thức quan trọng:
Nếu A⊆B tức là A là tập con của B có nghĩa là tất cả các phần tử của tập A đều nằm trong tập B, thì
P(A⋂B) = P(A), thì P(A/B) = P(A) / P(B)
Nếu B⊆A tức là B là tập con của A có nghĩa là tất cả các phần tử của tập B đều nằm trong tập A, thì
P(A⋂B) = P(B), thì P(A/B) = 1
Định lý Bayes cho hơn ba sự kiện:
Nếu chúng ta có hơn ba sự kiện phụ thuộc lẫn nhau, xác suất có điều kiện của chúng sẽ có mối quan hệ sau,
P(X1/Y) = (P(X1)*P(Y/X1) / [P(X1 * P(Y/X1)) + P(X2 * P(Y/X2)) + P(X3 * P(Y/X3)) + …]