Xác suất có điều kiện ký hiệu là P ( A | B ) là xác suất xảy ra sự kiện ‘A’ cho rằng sự kiện ‘B’ đã xảy ra.
Công thức tính xác suất có điều kiện -
P(A|B) = P( A⋂B ) / P(B)
Định lý Bayes
Đây là công thức thể hiện mối quan hệ giữa các xác suất xuất hiện của các sự kiện phụ thuộc lẫn nhau, tức là nó dựa trên mối quan hệ giữa các xác suất có điều kiện của chúng.
Cho một sự kiện A và một sự kiện B khác, theo định lý bayes,
P (A / B) ={P (B / A) * P (A)} / P (B)
Hãy suy ra công thức cho định lý Bayes,
Đối với điều này, chúng tôi sẽ sử dụng công thức cho xác suất có điều kiện,
P(A|B) = P( A?B ) / P(B) —— 1 P(B|A) = P( B?A ) / P(A) —— 2
Chúng ta biết rằng A⋂B và B⋂A giống nhau, do đó chúng ta có thể thay thế giá trị của B⋂A bằng phương trình A⋂B 2.
P(B/A) = P(A⋂B) / P(A) P(B/A) * P(A) = P(A⋂B) —- 3
Bây giờ, sử dụng giá trị này cho A? B trong phương trình 1, chúng ta sẽ nhận được công thức định lý bayes.
P(A/B) = {P(B/A) * P(A)} / P(B) Một số dẫn xuất cho Định lý Bayes,
Quy tắc sản phẩm
được mô tả trong phương trình 3, nó nói rằng xác suất của cả hai sự kiện xảy ra trong cùng một thử nghiệm bằng tích của xác suất có điều kiện của sự kiện và xác suất xuất hiện của sự kiện bằng chứng.
P(A?B) = P(A/B) * P(B)
Từ quy tắc này, chúng ta có thể rút ra hai công thức quan trọng -
Nếu A⊆B tức là A là tập con của B, nghĩa là tất cả các phần tử của tập A đều nằm trong tập hợp B, thì
P(A⋂B) = P(A), then P(A/B) = P(A) / P(B)
Nếu B⊆A tức là B là tập con của A có nghĩa là tất cả các phần tử của tập B đều nằm trong tập A, thì
P(A⋂B) = P(B), then P(A/B) = 1
Định lý Bayes hình thành nhiều hơn ba sự kiện -
Nếu chúng ta có nhiều hơn ba sự kiện phụ thuộc lẫn nhau, xác suất có điều kiện của chúng sẽ có mối quan hệ sau,
P(X1/Y) = (P(X1)*P(Y/X1) / [P(X1 * P(Y/X1)) + P(X2 * P(Y/X2)) + P(X3 * P(Y/X3)) + …]