Trong bài báo gốc, Bertrand đưa ra chứng minh dựa trên công thức tổng quát cho số chuỗi thuận lợi dùng quan hệ đệ quy.
Ví dụ
5 người bầu, 3 bầu A, 2 bầu B (p=3, q=2). Có 10 thứ tự bỏ phiếu:
- AAABB
- AABAB
- ABAAB
- BAAAB
- AABBA
- ABABA
- BAABA
- ABBAA
- BABAA
- BBAAA
Thứ tự AABAB: thống kê phiếu theo tiến trình:
| Ứng viên | A | A | B | A | B |
|---|---|---|---|---|---|
| A | 1 | 2 | 2 | 3 | 3 |
| B | 0 | 0 | 1 | 1 | 2 |
Mọi cột A đều > B -> A luôn dẫn đầu. Thứ tự AABBA: sau phiếu thứ 4 A và B hòa -> A không luôn dẫn. Trong 10 trường hợp, A luôn dẫn chỉ có AAABB và AABAB. Xác suất = 2/10 = 1/5 = (3-2)/(3+2) đúng định lý.