Tìm Căn bậc hai theo Modulo p (Khi p ở dạng 4 * i + 3) trong C ++

Trong bài toán này, chúng ta được cho hai giá trị n và một số nguyên tố p. Nhiệm vụ của chúng ta là tìm Căn bậc hai dưới Modulo p (Khi p có dạng 4 * i + 3). Ở đây, p có dạng (4 * i + 3) tức là p% 4 =3 cho i> 1 và p là một số nguyên tố.

Đây là một số số, 7, 11, 19, 23, 31 ...

Hãy lấy một ví dụ để hiểu vấn đề,

Input : n = 3, p = 7
Output :

Phương pháp tiếp cận giải pháp

Một giải pháp đơn giản cho vấn đề là sử dụng một vòng lặp. Chúng ta sẽ lặp từ 2 đến (p - 1). Và đối với mọi giá trị, hãy kiểm tra xem bình phương của nó có phải là căn bậc hai theo modulo p là n hay không.

Ví dụ

Chương trình minh họa hoạt động của giải pháp của chúng tôi

#include <iostream>
using namespace std;
void findSquareRootMod(int n, int p) {
   n = n % p;
   for (int i = 2; i < p; i++) {
      if ((i * i) % p == n) {
         cout<<"Square root under modulo is "<<i;
         return;
      }
   }
   cout<<"Square root doesn't exist";
}
int main(){
   int p = 11;
   int n = 3;
   findSquareRootMod(n, p);
   return 0;
}

Đầu ra

Square root under modulo is 5

Một phương pháp nữa là sử dụng trực tiếp công thức,

Nếu p có dạng (4 * i + 3) và để tồn tại căn bậc hai thì nó sẽ là $ + / - n ^ {(p + 1) / 4} $

Ví dụ

Chương trình minh họa hoạt động của giải pháp của chúng tôi

#include <iostream>
using namespace std;
int calcPowerVal(int x, int y, int p) {
   int res = 1;
   x = x % p;
   while (y > 0) {
      if (y & 1)
      res = (res * x) % p;
      y /= 2;
      x = (x * x) % p;
   }
   return res;
}
void squareRoot(int n, int p) {
   if (p % 4 != 3) {
      cout << "Invalid Input";
      return;
   }
   n = n % p;
   int sr = calcPowerVal(n, (p + 1) / 4, p);
   if ((sr * sr) % p == n) {
      cout<<"Square root under modulo is "<<sr;
      return;
   }
   sr = p - sr;
   if ((sr * sr) % p == n) {
      cout << "Square root is "<<sr;
      return;
   }
   cout<<"Square root doesn't exist ";
}
int main() {
   int p = 11;
   int n = 4;
   squareRoot(n, p);
   return 0;
}

Đầu ra

Square root under modulo is 9