Trong bài toán này, chúng ta được cho hai giá trị n và một số nguyên tố p. Nhiệm vụ của chúng ta là tìm căn bậc hai dưới modulo p.
Hãy xem ví dụ sau để hiểu bài toán:
Input : n = 4, p = 11 Output : 9
Phương pháp giải
Ở đây, ta sẽ sử dụng Thuật toán Tonelli-Shanks.
Thuật toán Tonelli-Shanks được dùng trong số học modulo để giải giá trị x trong đồng dư dạng x² = n (mod p).
Thuật toán tìm căn bậc hai modulo bằng thuật toán Shanks-Tonelli:
Bước 1 − Tìm giá trị $(n^{((p-1)/2)})(mod\:p)$, nếu giá trị là p-1, thì căn bậc hai modulo không tồn tại.
Bước 2 − Sau đó, ta dùng giá trị p-1 dạng (s * 2e). Trong đó s là số lẻ dương và e là số dương.
Bước 3 − Tính giá trị q^((p-1)/2)(mod p) = -1
Bước 4 − Dùng vòng lặp cho m lớn hơn 0 và cập nhật giá trị x,
Tìm m sao cho b^(2^m) - 1(mod p) với 0 <= m <= r-1.
Nếu M là 0, trả về x, ngược lại cập nhật giá trị:
x = x * (g^(2 ^ (r - m - 1)) b = b * (g^(2 ^ (r - m)) g = (g^(2 ^ (r - m - 1)) r = m
Ví dụ
Chương trình minh họa cho giải pháp,
#include <iostream> #include <math.h> using namespace std; int powerMod(int base, int exponent, int modulus) { int result = 1; base = base % modulus; while (exponent > 0) { if (exponent % 2 == 1) result = (result * base)% modulus; exponent = exponent >> 1; base = (base * base) % modulus; } return result; } int gcd(int a, int b) { if (b == 0) return a; else return gcd(b, a % b); } int orderValues(int p, int b) { if (gcd(p, b) != 1) { return -1; } int k = 3; while (1) { if (powerMod(b, k, p) == 1) return k; k++; } } int findx2e(int x, int& e) { e = 0; while (x % 2 == 0) { x /= 2; e++; } return x; } int calcSquareRoot(int n, int p) { if (gcd(n, p) != 1) { return -1; } if (powerMod(n, (p - 1) / 2, p) == (p - 1)) { return -1; } int s, e; s = findx2e(p - 1, e); int q; for (q = 2; ; q++) { if (powerMod(q, (p - 1) / 2, p) == (p - 1)) break; } int x = powerMod(n, (s + 1) / 2, p); int b = powerMod(n, s, p); int g = powerMod(q, s, p); int r = e; while (1) { int m; for (m = 0; m < r; m++) { if (orderValues(p, b) == -1) return -1; if (orderValues(p, b) == pow(2, m)) break; } if (m == 0) return x; x = (x * powerMod(g, pow(2, r - m - 1), p)) % p; g = powerMod(g, pow(2, r - m), p); b = (b * g) % p; if (b == 1) return x; r = m; } } int main() { int n = 3; int p = 13; int sqrtVal = calcSquareRoot(n, p); if (sqrtVal == -1) cout<<"Modular square root is not exist"; else cout<<"Modular square root of the number is "<<sqrtVal; }Kết quả
Modular square root of the number is 9