Chu kỳ Hamilton

Trong một đồ thị vô hướng, đường đi Hamilton là một đường đi, đến mỗi đỉnh chính xác một lần và chu trình hoặc mạch Hamilton là một đường Hamilton, có một cạnh từ đỉnh cuối cùng đến đỉnh đầu tiên.

Trong bài toán này, chúng ta sẽ cố gắng xác định xem một đồ thị có chứa một chu trình Hamilton hay không. Và khi có chu trình Hamilton, cũng in chu trình đó.

Đầu vào và Đầu ra

Input:
The adjacency matrix of a graph G(V, E).

Output:
The algorithm finds the Hamiltonian path of the given graph. For this case it is (0, 1, 2, 4, 3, 0). This graph has some other Hamiltonian paths.
If one graph has no Hamiltonian path, the algorithm should return false.

Thuật toán

isValid (v, k)

Đầu vào - Đỉnh v và vị trí k.

Đầu ra - Kiểm tra xem việc đặt v ở vị trí k có hợp lệ hay không.

Begin
   if there is no edge between node(k-1) to v, then
      return false
   if v is already taken, then
      return false
   return true; //otherwise it is valid
End

cycleFound (nút k)

Đầu vào - nút của biểu đồ.

Đầu ra - Đúng khi có Chu trình Hamilton, ngược lại là sai.

Begin
   if all nodes are included, then
      if there is an edge between nodes k and 0, then
         return true
      else
         return false;

   for all vertex v except starting point, do
      if isValid(v, k), then //when v is a valid edge
         add v into the path
         if cycleFound(k+1) is true, then
            return true
         otherwise remove v from the path
   done
   return false
End

Ví dụ

#include<iostream>
#define NODE 5
using namespace std;

int graph[NODE][NODE] = {
   {0, 1, 0, 1, 0},
   {1, 0, 1, 1, 1},
   {0, 1, 0, 0, 1},
   {1, 1, 0, 0, 1},
   {0, 1, 1, 1, 0},
};
   
/* int graph[NODE][NODE] = {
   {0, 1, 0, 1, 0},
   {1, 0, 1, 1, 1},
   {0, 1, 0, 0, 1},
   {1, 1, 0, 0, 0},
   {0, 1, 1, 0, 0},
}; */

int path[NODE];

void displayCycle() {
   cout<<"Cycle: ";

   for (int i = 0; i < NODE; i++)
      cout << path[i] << " ";
   cout << path[0] << endl;      //print the first vertex again
}

bool isValid(int v, int k) {
   if (graph [path[k-1]][v] == 0)   //if there is no edge
      return false;

   for (int i = 0; i < k; i++)   //if vertex is already taken, skip that
      if (path[i] == v)
         return false;
   return true;
}

bool cycleFound(int k) {
   if (k == NODE) {             //when all vertices are in the path
      if (graph[path[k-1]][ path[0] ] == 1 )
         return true;
      else
         return false;
   }

   for (int v = 1; v < NODE; v++) {       //for all vertices except starting point
      if (isValid(v,k)) {                //if possible to add v in the path
         path[k] = v;
         if (cycleFound (k+1) == true)
            return true;
         path[k] = -1;               //when k vertex will not in the solution
      }
   }
   return false;
}

bool hamiltonianCycle() {
   for (int i = 0; i < NODE; i++)
      path[i] = -1;
   path[0] = 0; //first vertex as 0

   if ( cycleFound(1) == false ) {
      cout << "Solution does not exist"<<endl;
      return false;
   }

   displayCycle();
   return true;
}

int main() {
   hamiltonianCycle();
}

Đầu ra

Cycle: 0 1 2 4 3 0