Trong bài toán này, chúng ta được cho một số nguyên tố N. nhiệm vụ của chúng ta là in ra căn nguyên của số nguyên tố N modulo N.
Gốc ban đầu của số nguyên tố N là một số nguyên x nằm giữa [1, n-1] sao cho tất cả các giá trị của xk (mod n) trong đó k nằm trong [0, n-2] là duy nhất.
Hãy lấy một ví dụ để hiểu vấn đề,
Input: 13 Output: 2
Để giải quyết vấn đề này, chúng ta phải sử dụng hàm toán học có tên là Euler’s Totient Function .
Euler’s Totient Function là đếm các số từ 1 đến n tương đối nguyên tố với số n.
Một số i tương đối nguyên tố nếu GCD (i, n) =1.
Trong lời giải, nếu bậc nhân của x modulo n bằng Euler’s Totient Function, thì số đó là căn nguyên, ngược lại thì không. Chúng tôi sẽ kiểm tra tất cả các số nguyên tố tương đối.
Lưu ý:Hàm Euler’s Totient của một số nguyên tố n =n-1
Đoạn mã dưới đây sẽ hiển thị việc triển khai giải pháp của chúng tôi,
Ví dụ
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; bool isPrimeNumber(int n) { if (n <= 1) return false; if (n <= 3) return true; if (n%2 == 0 || n%3 == 0) return false; for (int i=5; i*i<=n; i=i+6) if (n%i == 0 || n%(i+2) == 0) return false; return true; } int power(int x, unsigned int y, int p) { int res = 1; x = x % p; while (y > 0){ if (y & 1) res = (res*x) % p; y = y >> 1; x = (x*x) % p; } return res; } void GeneratePrimes(unordered_set<int> &s, int n) { while (n%2 == 0){ s.insert(2); n = n/2; } for (int i = 3; i <= sqrt(n); i = i+2){ while (n%i == 0){ s.insert(i); n = n/i; } } if (n > 2) s.insert(n); } int findPrimitiveRoot(int n) { unordered_set<int> s; if (isPrimeNumber(n)==false) return -1; int ETF = n-1; GeneratePrimes(s, ETF); for (int r=2; r<=ETF; r++){ bool flag = false; for (auto it = s.begin(); it != s.end(); it++){ if (power(r, ETF/(*it), n) == 1){ flag = true; break; } } if (flag == false) return r; } return -1; } int main() { int n= 13; cout<<" Smallest primitive root of "<<n<<" is "<<findPrimitiveRoot(n); return 0; }
Đầu ra
Smallest primitive root of 13 is 2